Должны ли совпадать сроки подписания договора аренды и срок начала аренды?
Нет, широко практикуется подписание договоров найма (аренды) с отсрочкой заселения, по договоренности с собственником.
В договорах найма (аренды) с отсрочкой заселения, срок начала проживания (и соответственно оплата проживания) указывается более поздним числом от даты подписания самого договора.